JARDINES
Leo en la prensa... “La OCDE ha dado a conocer su informe trienal PISA 2003 que, mediante 275.000 pruebas directas a estudiantes realizadas en los propios centros, compara los resultados educativos de los treinta Estados de la OCDE (organización que integra a los 30 países más desarrollados) más otros once países asociados. Los alumnos españoles de 15 años se sitúan por debajo de la media de conocimientos. El nivel español se sitúa entre los peores (puesto 29 de un total de 41 países; y el 22 de 29 de la OCDE), con tendencia a empeorar, hasta el punto de que más de un 20% ni siquiera es capaz de superar ejercicios básicos en dichas materias... “ Etc, etc. A pesar de que sería buena materia de reflexión no es eso lo que me mueve a escribir esta babayada.
Lo que me ha dejado intrigado fue uno de los problemas de geometría del examen, que en un periódico se citaba (entre otros) a modo de ejemplo. El problema en sí, parece elemental: Un jardinero dispone de 16 metros de valla. A continuación aparecen cuatro perímetros de posibles jardines y el estudiante debía señalar cuales puede cerrar en su totalidad y cuales no. He hecho unos dibujos bastante toscos.
La primera figura quiere ser un cuadrado de 4x4 metros
La segunda figura, una cruz de brazos iguales de 4m de largo por 4 de ancho.
La tercera es un paralelogramo también de 4 m de largo por 4 de ancho
La cuarta es difícil de describir .. bueno, podéis mirar la figura.
Conste que en el original la figura base no se trataba de un cuadrado, sino de un rectángulo de 4x6, pero lo he simplificado para que os sea mas fácil percibir mi perplejidad. Es evidente que la única figura que no se puede cerrar es la 3. En todas las demás la suma de los segmentos horizontales y verticales siempre sumará 16. ¿Verdad?. Evidente, y aun así el 32% de los estudiantes españoles erraron la respuesta.
Bueno, pues después de mirar y remirar las figuritas yo ya no estoy tan seguro. Si siguiésemos segmentando el cuadrado indefinidamente siguiendo la progresión que indican las figuras 1, 2, 4, finalmente obtendríamos... ¡una circunferencia de 4 metros de diámetro!. Pero una circunferencia no mide 16 metros de perímetro mientras que todas las figuras intermedias que podamos dibujar a base de segmentos horizontales y verticales sí. Aún nos sobraría valla, por lo que la solución sigue siendo correcta... pero una paradoja no deja de ser una paradoja.
4 comentarios:
No hay tal paradoja. Creo que es en los cuentos de Canterbury donde se plantea un problema similar, esta vez sobre la hipotenusa de un triángulo.
El caso límite no es una circunferencia, sino un polígono de lado 0. Y de perímetro 16. Podríamos hablar de dimensiones fractales y tal. O no ;-)
Maxi: te contesto como "anónimo" porque por alguna extraña razón, el blogger éste no me admite como usario en las respuestas. Debe ser cosa del Espejo de Galadriel (ver mas abajo, porque también los nuevos post salen con fecha aleatoria. Debe ser pa que sea mas divertido ésto).
Hombre tienes razón y no la tienes. La tienes porque si, es verdad que puede considerarse que el límite de las hipotenusas es un polígono de infinitos lados (lo que dices de cero lados supongo que es un error). No la tienes porque la circunferencia resultante NO tiene 16 m de perimetro sino 12.57 aproximadamente. Piensalo un poco. El caso es que cuando consideras la circunferencia formada por diedros ortogonales y no hipotenusas para cualquier numero de ellos por grande que sea, el perimetro siempre tiene 16 metros. Pero en el limite el resultado es una circunferencia de 12,57. La cuadratura del círculo se llama ésto.
Hola
Pues yo si que salgo aquí con mi identificador, qué raro...
Quise decir polígono de longitud de lado = 0, no de 0 lados ;-)
En realidad, tampoco es 0 el lado, sino un épsilon que tiende a 0, un infinitésimo lo suficientemente "grande" como para que el perímetro siga siendo 16, porque lo que sí se sigue conservando son los 90 grados entre cada pareja de lados consecutivos. Ya me dirás cómo hace eso una circunferencia....
Hola:
Mira, ahora sí que me acepta el identificador. La solución Maxi, es que lo que tiende a coincidir con la circunferencia es el polígono formado por la suma de las hipotenusas, no la suma de los lados de los diedros en si. Diedro e hipotenusa forman un triángulo rectángulo, y en todo triángulo cualquier lado es menor que la suma de los otros dos. Además es posible solucionarlo y demostrarlo matemáticamente, pero eso es casi imposible aquí.
Prueba a hacerte una imagen mental: ya que hablaste de fractales imagina que, para cualquier número M de diedros que formes, aumentas una fracción del perímetro de la circunferencia resultante. Siempre veremos una serie de triángulos rectángulos encadenados.
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